Um dos 'paradoxos' mais conhecidos do pré-socrático Zenão de Eléia parte do seguinte enunciado:
Como pede o enunciado, passamos a calcular os tempos t(1), t(2), t(3), ... :
t(1) = d(1)/V(a)
Nesse mesmo intervalo, a tartaruga percorre d(2) = V(t).t(1) = V(t).d(1)/V(a)
t(2) = d(2)/V(a), ou seja, t(2) = V(t).d(1)/V(a)2
Nesse mesmo intervalo, a tartaruga percorre d(3) = V(t).t(2) = d(1).V(t)2/V(a)2
Por indução vulgar, chega-se a t(n) = d(1).V(t)n-1/V(a)n, o que significa dizer que a série dos tempos é um progressão geométrica infinita de razão q = V(t)/V(a) (que é menor que 1 pois V(t) é menor que V(a)). Como a soma da P. G. infinita é dada por S = t(1)/1-q, chegamos a S = d(1)/[V(a)-V(t)]. Essa soma representa o tempo gasto por Aquiles para alcançar a tartaruga e, sendo ele finito, o paradoxo desaparece. A mentalidade moderna acompanha a resolução desse exercício sem perceber a origem do 'paradoxo': a noção de que um somatório infinito de termos positivos pode convergir para um valor finito.
Pode-se objetar que todos os paradoxos propostos por Zenão caem por terra assim que se introduz o conceito de continuidade (por exemplo, a linha da corrida de Aquiles é um contínuo de pontos, e não um aglomerado discreto de pontos), mas ele não só sabia disso como era precisamente isso que ele procurou mostrar. A intenção de Zenão não era propriamente defender os argumentos de seu mestre Parmênides, mas sim ridicularizar os pressupostos da escola rival, a escola pitagórica, segundo a qual toda a realidade é composta por unidades discretas. O paradoxo acima mostra que se isso fosse verdade Aquiles jamais seria capaz de alcançar uma mísera tartaruga.
Prova de que a discussão não é ociosa é a atenção que lhe deu ninguém menos que Aristóteles, ao discutir o conceito de infinito na Física. Frederick Copleston, no primeiro volume de sua A History of Philosophy, resume a questão:
Considere a seguinte situação baseada num dos paradoxos de Zenão de Eléia, filósofo grego do século V A.C. Suponha que o atleta Aquiles e uma tartaruga apostam uma corrida em linha reta, correndo com velocidades constantes V(a) e V(t), com V(a) maior que V(t). Como a tartaruga é mais lenta é-lhe dada uma vantagem inicial, de modo a começar a corrida no instante t = 0 a uma distância d(1) na frente de Aquiles. Calcule os tempos t(1), t(2), t(3), ... que Aquiles precisa para percorrer as distâncias d(1), d(2), d(3), ..., respectivamente, sendo que d(n), n maior ou igual a 2, denota a distância entre a tartaruga e Aquiles assim que Aquiles atinge a posição ocupada pela tartaruga na situação anterior.O paradoxo consistiria no fato de que quando Aquiles tiver percorrido d(1), a tartaruga já terá avançado um d(2) (ainda que bem menor que d(1)). Quando Aquiles chegar à posição d(1) + d(2), a tartaruga já estará d(3) à frente, e assim sucessivamente, de maneira que poderíamos concluir que Aquiles, nada obstante seu porte atlético e donairoso, jamais conseguirá alcançar a tartaruga.
Como pede o enunciado, passamos a calcular os tempos t(1), t(2), t(3), ... :
t(1) = d(1)/V(a)
Nesse mesmo intervalo, a tartaruga percorre d(2) = V(t).t(1) = V(t).d(1)/V(a)
t(2) = d(2)/V(a), ou seja, t(2) = V(t).d(1)/V(a)2
Nesse mesmo intervalo, a tartaruga percorre d(3) = V(t).t(2) = d(1).V(t)2/V(a)2
Por indução vulgar, chega-se a t(n) = d(1).V(t)n-1/V(a)n, o que significa dizer que a série dos tempos é um progressão geométrica infinita de razão q = V(t)/V(a) (que é menor que 1 pois V(t) é menor que V(a)). Como a soma da P. G. infinita é dada por S = t(1)/1-q, chegamos a S = d(1)/[V(a)-V(t)]. Essa soma representa o tempo gasto por Aquiles para alcançar a tartaruga e, sendo ele finito, o paradoxo desaparece. A mentalidade moderna acompanha a resolução desse exercício sem perceber a origem do 'paradoxo': a noção de que um somatório infinito de termos positivos pode convergir para um valor finito.
Pode-se objetar que todos os paradoxos propostos por Zenão caem por terra assim que se introduz o conceito de continuidade (por exemplo, a linha da corrida de Aquiles é um contínuo de pontos, e não um aglomerado discreto de pontos), mas ele não só sabia disso como era precisamente isso que ele procurou mostrar. A intenção de Zenão não era propriamente defender os argumentos de seu mestre Parmênides, mas sim ridicularizar os pressupostos da escola rival, a escola pitagórica, segundo a qual toda a realidade é composta por unidades discretas. O paradoxo acima mostra que se isso fosse verdade Aquiles jamais seria capaz de alcançar uma mísera tartaruga.
Prova de que a discussão não é ociosa é a atenção que lhe deu ninguém menos que Aristóteles, ao discutir o conceito de infinito na Física. Frederick Copleston, no primeiro volume de sua A History of Philosophy, resume a questão:
Though Aristotle rejected an existent actually infinite body or number, he admitted the infinite in another sense. The infinite exists potentially. For example, no spatial extension is an actual infinite, but it is potentially infinite in the sense that it is infinitely divisible. A line does not consist of an actual infinite of points, for it is a continuum (it is in this way that Aristotle attempts, in the Physics, to meet the difficulties raised by Zeno the Eleatic), but it is infinitely divisible, though this potentially infinite division will never be completely realised in actuality. Time, again, is potentially infinite, since it can be added to indefinitely; but time never exists as an actual infinite, for it is a successive continuum and its parts never coexist. Time, therefore, resembles spatial extension in being infinitely divisible (though no actual infinity is ever realised), but is also potentially infinite by way of addition, and in this it differs from extension, since extension, according to Aristotle, has a maximum, even if it has no minimum. A third potential infinity is that of Number, which resembles time in being potentially infinite by way of addition, since you cannot count up to a number beyond which all counting and addition is impossible. Number, however, differs from both time and extension in being insusceptible of infinite division, for the reason that it has a minimum - the unit.E bastaria que se falasse em números racionais para que a noção de Número também se tornasse potencialmente infinita by way of division.
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